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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:00 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Ben84xy |
Hallo,
ich habe irgendwie bei der Kurvendiskussion den Schritt |x| [mm] \to [/mm] +/- [mm] \infty [/mm] nicht verstanden (wahrscheinlich ist das der einfachste, aber irgendwie klappt es nicht) . Ich weiß zwar, dass das Verhalten von f(x) durch den Summanden mit der größten Hochzahl bestimmt wird, doch wie das genau geht nicht. Was sagt mir die Hochzahl? Wie heißen die Regeln dazu und wie begründet man das Verhalten richtig?
Im Buch steht folgendes:
2 [mm] x^4
[/mm]
also gilt für [mm] f(x)\to \infty [/mm] für [mm] f(x)\to [/mm] + [mm] \infty [/mm] und [mm] f(x)\to [/mm] - [mm] \infty
[/mm]
Das sagt mir aber ehrlich gesagt nichts. Der Rest der Kurvendiskussion ist klar.
Vielen Dank schon mal!
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> Hallo,
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> ich habe irgendwie bei der Kurvendiskussion den Schritt |x|
> [mm]\to[/mm] +/- [mm]\infty[/mm] nicht verstanden (wahrscheinlich ist das der
> einfachste, aber irgendwie klappt es nicht) . Ich weiß
> zwar, dass das Verhalten von f(x) durch den Summanden mit
> der größten Hochzahl bestimmt wird, doch wie das genau geht
> nicht. Was sagt mir die Hochzahl? Wie heißen die Regeln
> dazu und wie begründet man das Verhalten richtig?
>
> Im Buch steht folgendes:
>
> 2 [mm]x^4[/mm]
>
> also gilt für [mm]f(x)\to \infty[/mm] für [mm]f(x)\to[/mm] + [mm]\infty[/mm] und
> [mm]f(x)\to[/mm] - [mm]\infty[/mm]
>
> Das sagt mir aber ehrlich gesagt nichts. Der Rest der
> Kurvendiskussion ist klar.
>
> Vielen Dank schon mal!
[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Bei ganzrationalen Funktionen sind der Koeffizient und der Exponent des höchsten Polynoms ausschlag-}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{gebend für das Verhalten im Unendlichen, sowie, ob der höchste Exponent gerade oder ungerade ist.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Du hast vier Fälle zu unterscheiden:}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{1. Der Koeffizient ist postiv und der Exponent gerade: }\limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=+\infty \wedge \limes_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{2. Der Koeffizient ist negativ und der Exponent gerade: }\limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty \wedge \limes_{x\rightarrow+\infty}f(x)=-\infty$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{3. Der Koeffizient ist postiv und der Exponent ungerade: }\limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty \wedge \limes_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{4. Der Koeffizient ist negativ und der Exponent ungerade: }\limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=+\infty \wedge \limes_{x\rightarrow+\infty}f(x)=-\infty$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Wie du siehst, dreht sich durch den Vorzeichenwechsel des Koeffizienten der Grenzverhalten genau um.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Als Brücke, um dir das alles besser merken zu können, kannst du dir folgendes allgemein einprägen:}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Für gerade Funktion (also diejenigen, wo nur gerade Exponenten im Funktionsterm auftreten), gilt (mit posi-}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{tivem Koeffizienten) sowohl für }x\rightarrow-\infty \text{ als auch für }x\rightarrow+\infty \text{ immer }+\infty\text{ als Grenzwert.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Für ungerade Funktion (also diejenigen, wo nur ungerade Exponenten im Funktionsterm auftreten), gilt (mit posi-}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{tivem Koeffizienten) für }x\rightarrow -\infty \text{ der Grenzwert }-\infty \text{ und für } x\rightarrow+\infty \text{ der Grenzwert }+\infty\text{.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Du kannst diese beiden Sorten von Funktionen als y-achsensymmetrisch und ursprungs-punktsymmetrisch bezeichen.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Gruß, Stefan.}$
[/mm]
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